Curiosidades

Legados a largo plazo

¿Quién no ha oído hablar del consabido número de granos de trigo que, según las leyendas, pidió como recompensa el inventor del ajedrez? Esta cantidad se forma duplicando sucesivamente cada uno de los números obtenidos; primera casilla del tablero, el inventor pidió un grano; para la segunda, dos; etc. A cada uno de las casillas le corresponde el doble que la anterior, hasta llegar a las 64 casillas.

Mas crecimiento tan vertiginoso se da, no sólo duplicando sin cesar la cifra anterior, sino con una norma de crecimiento notablemente más moderada. Un capital que produce el 5% anual a interés compuesto, aumenta cada año 1,05 veces. Parece éste un crecimiento de poca consideración, más al cabo de cierto tiempo el capital llega a alcanzar grandes proporciones.

Esto explica que después de transcurridos muchos años de ser legada una herencia crezca de forma insólita. Parece extraño que dejando el finado una suma harto modesta se convierta ésta en un enorme capital. Es bien conocido el testamento de Franklin, famoso estadista norteamericano. Fue publicado en Recopilación de diversas obras de Benjamín Franklin. He aquí un fragmento de él: “Dono mil libras esterlinas a los habitantes de Boston.

Si las aceptan, estas mil libras, deben ser administradas por los vecinos más distinguidos de la ciudad, que las concederán en préstamo al 5%, a los artesanos jóvenes. Al cabo de cien años esta suma se elevará a 131.000 libras esterlinas. Deseo que entonces sean empleadas, 100.000 libras en la construcción de edificios públicos, y las 31.000 restantes concedidas en crédito por un plazo de 100 años. Al cabo de este tiempo la suma habrá llegado a 4.061.000 libras esterlinas, de las cuales 1.060.000 dejo a disposición de los vecinos de Boston y 3.000.000, al municipio de Massachusetts. En lo sucesivo no me atrevo a seguir extendiéndome con más disposiciones”.

Franklin, que dejó una herencia de 1.000 libras, distribuyó millones de ellas. Y no se trata de ningún malentendido. El cálculo matemático confirma que las disposiciones del testador son ciertas. Las 1.000 libras aumentaron cada año en 1,05 veces y, al cabo de 100 años se convirtieron en

x = 1.000 * 1,05¹⁰⁰ libras.

Esta expresión puede calcularse mediante los logaritmos:

log x = log 1.000 + 100 log 1,05 = 5,11893,

de donde

x= 131.000

de acuerdo con el testamento. En el segundo siglo las 31.000 llegarán a

y = 31 000·1,05¹⁰⁰,

de donde, al aplicar los logaritmos resultará:

y = 4.076.500

suma que se diferencia muy poco de la señalada en el testamento.

La séptima operación

Hemos recordado que la quinta operación -elevación a potencias- tiene dos operaciones inversas. Si a^b = c, la búsqueda de a será una de las operaciones inversas: la extracción de raíz. Para hallar la b se recurre a la otra: la logaritmación. Supongo que el lector conoce las nociones de logaritmos correspondientes a un curso escolar. Para él no representará ninguna dificultad encontrar, por ejemplo, a qué es igual a log a^b.

Es fácil comprender que si la base del logaritmo a se eleva a la potencia del logaritmo del número b se obtendrá el número b.

Los logaritmos fueron descubiertos para acelerar y simplificar el cálculo. Neper, inventor de las primeras tablas de logaritmos, refiere así el propósito que le animaba:

“En la medida de mis capacidades, me proponía evitar las difíciles y aburridas operaciones de cálculo, cuyo fastidio constituye una pesadilla para muchos que se dedican al estudio de las matemáticas”.

En efecto, los logaritmos facilitan y aceleran en grado sumo los cálculos, sin hablar ya de que permiten realizar operaciones que serían en extremo complejas si no los aplicáramos (extracción de raíces de cualquier índice).

Laplace escribió con todo fundamento que “con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos”.

El famoso matemático se refería a los astrónomos por cuanto se ven obligados a hacer cálculos agotadores y de singular complejidad. Mas sus palabras pueden ser aplicadas con pleno derecho a todos aquellos que operan con números.

A nosotros, acostumbrados al empleo de logaritmos y al alivio que proporcionan, nos es difícil comprender el asombro y la admiración que ocasionó su aparición. Briggs, contemporáneo de Neper, célebre más tarde por su invención de los logaritmos decimales, escribió al recibir la obra de aquél: “Con sus nuevos y asombrosos logaritmos, Neper, me ha obligado a trabajar intensamente con la cabeza y las manos. Confío verle este verano, pues jamás he leído un libro que tanto me agradara y asombrara como éste”. Briggs realizó su deseo, dirigiéndose a Escocia para visitar al inventor de los logaritmos. Cuando se encontraron, Briggs le dijo:

“He emprendido este prolongado viaje con el fin exclusivo de verle a usted y conocer con ayuda de qué ingenioso procedimiento y de qué arte se ha valido para concebir ese admirable recurso para los astrónomos: los logaritmos. Y, por cierto, que lo que ahora más me asombra es que nadie los hallara antes; hasta tal punto parecen sencillos después de conocerlos”.

Los rivales de los logaritmos

Antes de haberse inventado los logaritmos, la necesidad de acelerar las operaciones determinó la aparición de unas tablas de otro género, mediante las cuales la multiplicación se suplía por la resta y no por la suma. Dichas tablas se basaban en la identidad:

cuya veracidad es fácil de comprobar abriendo los paréntesis.

Disponiendo de cuartos del cuadrado, puede hallarse el producto de dos sin multiplicarlos.

Basta restar de un cuarto del cuadrado de la suma de estos números el cuarto del cuadrado de su diferencia. Esas mismas tablas alivian la elevación al cuadrado y la extracción de la raíz cuadrada. La tabla de cifras inversas simplifica también la división.

La superioridad de estas tablas sobre las de logaritmos estriba en que gracias a ellas se obtienen resultados exactos y no aproximados. Sin embargo ceden ante ellas en lo referente a muchas propiedades, que prácticamente son de mayor trascendencia. Si las tablas de las cuartas partes de los cuadrados permiten la multiplicación de dos cifras, los logaritmos, en cambio, hacen posible encontrar al mismo tiempo el producto de cuantos factores se quieran y, por añadidura, la potenciación de cualquier grado y puede extraer las raíces de cualquier índice (entero o quebrado). Los problemas de interés compuesto no pueden resolverse con las tablas de cuartos del cuadrado.

A pesar de eso siguieron publicándose las tablas de cuartos del cuadrado aún después de aparecer las de logaritmos de todas clases. En 1856 se editaron en Francia unas tablas tituladas: Tabla de los cuadrados de números del 1 al 1.000 millones, con ayuda de la cual se halla el producto exacto de números mediante un sistema sencillo en extremo y más cómodo que el de logaritmos. Compuestas por Alejandro Cossar.

Esta idea se les ocurre a muchos que ni sospechan que está ya superada. Se me han dirigido dos veces inventores de semejantes tablas creyendo se trataba de una novedad, enterándose con asombro que su invención data de hace tres siglos.

Otro de los rivales de los logaritmos, aunque más joven, son las tablas de cálculo que figuran en muchos manuales de consulta técnicos. Se trata de tablas generales que contienen las siguientes columnas: cuadrados y cubos, raíces cuadradas y cúbicas, números inversos, la longitud de la circunferencia y la superficie de círculos para números del 2 al 1.000. Estas tablas, a menudo muy cómodas para una serie de cálculos técnicos, son insuficientes; las de logaritmos tienen una esfera de aplicación considerablemente más extensa.

Los logaritmos en el corral

Problema

La llamada ración alimenticia de «sostén», (es decir, el alimento mínimo que cubre exclusivamente las calorías, que consume el funcionamiento de los órganos internos, el restablecimiento de las células que perecen, etc.) es proporcional a la superficie externa del cuerpo animal. Conociendo esto hallar las calorías necesarias para la ración alimenticia de sostén de un buey que pesa 420 kg. Se sabe que en esas condiciones, un buey que pesa 630 kg necesita 13.500 calorías.

Solución

Para resolver este problema práctico de la esfera de la ganadería, además de recurrir al álgebra debe utilizarse la geometría. De acuerdo con las condiciones del problema, las calorías buscadas (x) son proporcionales a la superficie externa (s) del cuerpo del animal, es decir,

donde s, es la superficie externa del buey, que pesa 630 kg. La geometría enseña que las superficies (s) de cuerpos semejantes son proporcionales al cuadrado de sus medidas lineales (l), y los volúmenes (y, por consiguiente, el peso) son proporcionales al cubo de las medidas lineales. Por eso:

de donde:

Empleando las tablas de logaritmos se encuentra que: x = 10.300.

El buey necesita 10.300 calorías.